技術摘記

1999-04-21 ISUAL中影像儀光軸的擺角與每年預估可觀測到sprite數目的分析報告

建立於 2010-12-03, 週五

    ISUAL中影像儀的光軸的擺\角

(Nadir angle of optical axis)

與每年預估可觀測到sprite數目的分析報告

----報告人:許\瑞榮

 

摘要:

在此篇報告中,我們將評估ISUAL中影像儀的擺\角與各種重要的物理量的關係。內容分為以下幾個章節加以討論:
 

 設定需要輸入的物理參數。
    二 估計影像儀的視野所涵蓋\的面積。
    三 視野中近端與遠端的spatial resolution。
    四 CCD上每一個pixel在單位的曝光時間內,所接收的光子數的分析。
    五 最佳擺角的選取。
    六 UCB所提的兩個設計的評估。
    七 每年可觀測到sprite的數量評估。
    八 ISUAL中的影像儀所接收到Aurora及Airglow的照度分析。
    九 結論。

一、設定需要輸入的物理參首先我們將先設定一些需要輸入的物理參數:

1. 地球半徑 rE = 6378 km (已知),
2. FORMOSAT-2的軌道高度 hS (待定),
3. ISUAL中IMAGE的擺\角(光軸與鉛垂線的夾角)
(Nadir angle of optic axis)= θ (待定),
4. 垂直視角:△θ (待定)
5. 水平視角:△φ (待定)
19990421_fig01
6. 影像投影投影在(Ph×Pv)pixel的CCD上。(已知)

二、估計影像儀的視野所涵蓋\的面積:

Ⅰ.視野中心線的近端與遠端的界定:
 
(a) 因為垂直視角為△θ,所以視野中心線的垂直視野之下限SA與鉛垂線SO的夾角:∠ASO = θ-(△θ/2) , 垂直視野的上限SB與鉛垂線SO的夾角:∠BSO = θ+(△θ/2)

 

19990421_fig02
 
(b) 設垂直視野的下限與距地表hA公里處的球面相交於A點,則由圖3所示,α\A與SA的距離可由以下二式求得:

  

1. 先利用正弦定理

19990421_eq01

 

 

 

求出δA . (注意δA必須≧ 90°)

19990421_fig03 
2.
利用三角形內角和等於180°求出α\A
α\A = 180 -(θ-(△θ/2))-δA

 

3. 再利用餘弦定理求出SA的距離
(SA)2 =(rE+hS)2+ (rE+hA)2-2(rE+hA)(rE+hA)cosα\A
(Note:因sprite發生大都在20km的高空,可令hA = 20km)

 

 
 
 
 
 
(c) 當擺\角θ<θC時,垂直視野的上限將距地表hB 公里處的球面相交於B點,(Note:因sprite發生的高度不超過100km的高空,可取hB= 100km)。則由(圖4)及下列三式求出α\A與SB:

19990421_fig04
 
1. 利用正弦定理
19990421_eq03
求出δB,在此δB≧90°,當δB = 90°時,所對應的θc
19990421_eq03

 

 

 

 

 

 

 


2. α\B = 180 = (θ+ (△θ/2))-δB

 

 

3. 再利用餘弦定理求出SB
19990421_eq04



 




 

(d) 當擺\角θ>θC時,如圖五所示,有效的視野將變小成△θ′,垂直視野內可觀測到sprite的範圍變成
19990421_eq05
其中△θ′與δB,SB的距離可由圖五與以下三式求得:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19990421_fig05
1. 可由19990421_eq06,得到α\B


 
 
 
 
2. 19990421_eq07

 
 
 
3. SB = (rE+hS)sin(α\B)

(Note:因為當擺\角θ>θc時,有效視野將變小,因此以下的討論將不考慮此種狀況。)

 

 

Ⅱ. 近端(A處)與遠端(B處)的水平視野寬度:如(圖六)所示

 

19990421_fig06 
(a)
近端水平視野的寬度CE = 2AE = 2SA tan(△ψ/2)

  

(b)
遠端的水平視野的寬度DF = 2BD = 2SB tan(△ψ/2)

 

Ⅲ. 近端(A處)與遠端(B處)的垂直視野範圍: 

(a)

參考(圖四),近端的垂直視野的觀測範圍為A到A'之間的距離。設A'距離地表hA'公里,由外角公式可知∠BA'O= α\A+ θ+(△θ/2),再利用正弦公式可知,19990421_eq08ie. 19990421_eq09從上式可得:19990421_eq10

也就是近端的垂直視野範圍為距地表高hA至距地表高hA'之間〔hA',hA〕。

 

(b) 從圖四中,可明顯地看出,遠端(B處)可觀測的垂直視野為距地表高hA至距地表高hB之間〔hA',hB〕。

 

Ⅳ.

視野內所涵蓋\的距地表高hA之球面範圍:由於將視野中每一點投影至球面的公式尚未完全整理出來,在此我們可用如圖七所示的曲面來近似,用以估計出可觀測到的面積。

 

19990421_fig07


因為CE = 2SA tan(△φ/2) = 2S'A tan(△Ψ/2),而且S'A = SA sin(θ-△θ/2),可知
19990421_eq11也就是 19990421_eq12。所以視野內的面積為
19990421_eq13。                                         

                                                                                                                                                                             (回摘要) 

三、視野中近端與遠端的spatial resolution(每一pixel所對應的光源的大小)。

Ⅰ. 水平方向的spatial resolution(km/pixel)

(a) 近端的水平方向的spatial resolution
19990421_eq15

 

  

(b)

遠端的水平方向的spatial resolution
19990421_eq16

  

Ⅱ. 垂直方向的spatial resolution(km/pixel)

(a) 近端的垂直方向的spatial resolution
19990421_eq17。參考(圖八)。

 

 
 
 
19990421_fig08
(b) 遠端的垂直方向的spatial resolution
19990421_eq18。參考(圖八)。
(Note:此部份的分析是對小角度的視野較為精確。對於大角度的視野,需再作進一步的校正。)

 

 
 
 
 
 
  
 

四、CCD上每一個pixel在單位的曝光時間內,所接收的光子數的分析:

Ⅰ、 設光源(sprite, Aurora, airglow)的強度為S(KR)。

  

Ⅱ、 由照相機公式,在底片(CCD)每平方公分所接收到的光度為(光源與光軸垂直時):
I =(1/4f2)S (KR)
其中f為影像儀(照相機)的焦比:
f=鏡頭焦長(Focus Length)/鏡頭口徑(aperture size)。

 

 
 

Ⅲ、 參考(圖九)。由於近端影像是AA'的長度投影在光軸的垂直面上成為AA",而AA'比AA"長,所以在近端光源的強度需乘以AA'/AA"的factor。
因為AA" = 2SA sin(△θ/2),而19990421_eq19,所以近端光源對CCD的照度IA
19990421_eq20

 

 

 

 

   

19990421_fig09
Ⅳ、 參考(圖十)。同理,遠端影像是BB'的長度投影在光軸的垂直面上成為BB"。而BB'比BB"長,所以遠端光源的強度必須乘上一個BB'/BB"的factor,因為
19990421_eq21
19990421_eq2219990421_eq23
亦即遠端光源對CCD的照度為IB
19990421_eq24

 

19990421_fig10 
Ⅴ、 假設CCD的規格為:(Px×Py)pixel/cm2,又儀器的靈敏度為每ξ個ms拍一個frame。近端與遠端在每個frame中傳到每一個pixel的光子數為
19990421_eq25 photon

 

 

  

五、最佳擺角的選取

Ⅰ、 經由以上三個條件,若以擺\角 θ為輸入值,求出視野所涵蓋\的面積 σ(θ),近端與遠端的垂直方向的spatialresolution , SRA(V)(θ),SRB(V)(θ),以及近端與遠端光源對CCD的照度IA(θ),IB(θ)。

 

Ⅱ、 再考慮各種參數的重要性,分別給適當的比重則可用以求出最佳的擺\角
(θoptimal)。

 

 

Ⅲ、 當我們以增加sprite的觀測率為主要的考量,亦即以視野所涵蓋\的面積 σ(θ)來作最佳比,數值提擬的結果告訴我的θ=θC所涵蓋\的面積最大,則可以用以下的公式求出:
θC = sin-1((rE+hB)/(rE+hS))-Δθ/2,
α\A=180-(θc-Δθ/2)-δA
δA滿足(rE+hA)/sin(θc-Δθ/2)=(rE+hS)/sin(δA),
也就是δA =sin-1(rE+h)/ (rE+hA)sin(θi),
α\B=90-(θc+Δθ/2) ,
ΔΨ=2 tan-1(tan(Δψ/2)/sin(θc-Δθ/2) ,
σ(θc)= (rE+hA)2ΔΨ[cosα\A-cosα\B] 。

                                                                                                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                                                                                (回摘要)

 

六、UCB所提的兩個設計的評估 

Ⅰ、 case study(A): 以UCB在1998年11月23日的proposal中的儀器來評估,
已知rE = 6378km,hS = 891km,
設sprite發生的高度範圍hA = 20km,hB = 100km,
由UCB 11月23日的proposal知道Δθ=5.8°,Δψ=34°。
則θc=sin-1((6378+100) / (6378+891))-5.8/2 =60.122°
δA =sin-1(((6378+100) / (6378+891))sin(60.122-5.8/2))= 107.209°
δB =90°
α\A= 180-(60.122-5.8/2)-107.209=15.569°
α\B= 90-(60.122+5.8/2)=26.978°
ΔΨ=2 tan-1[tan(34/2)/sin(60.122-5.8/2)]=2 tan-1(0.3636)=39.966°/π=0.6975
由以上的資料,可得以下的物理量。

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 視野所涵蓋\的面積:

σ(θc)=(6378+20)2 (0.6975)(cos(15.569°)-cos(26.978°))
=(6390)2 (50.3×10-3)=205944.58km2
σ(θc)佔以(rE+hA)為半徑的球面面積比:
σ(θc)/4π((rE+hA)2 =0.4%

 

 

 

 

 

2. 此時近端的sprite resolution為
SRA(V)=(hA'-hA )/80=(230.58-20)/80=2.6km /pixel
其中,
hA' = (rE+hB)/ sin(α\Ac+Δθ/2)–rE
= (6378+100)/sin(15.569+60.122+2.9)-6378=230.28

 

 

 

 

3. 遠端的sprite resolution為
SRB(V) = 2(3297.57)tan(17)/(512×cos(2.9)=3.94 km/pixel

 

 

 

4. 近端光源對CCD的照度 IA(或在每個frame中傳到每個pixel的光子數):
IA =(1/4f2)S×(hA'-hA)/2sin(Δθ/2)
其中(hA'-hA )=210.58 km,
(SA)={(6378+891)2+(6378+20)2-2(6378+891)(6378+20)cos(15.569)}1/2 =2042.43km,
f = 50mm/25mm = 2,
S = 100~600 KR,
IA=(1/4.22)×(100~600)×(230.58-20)/(2×2042.43×sin(2.9))=(6.37~38.2)KR,
也就是每個frame中(ξms)傳到每個pixel的光子數為
NA = {(6.37~38.2)×106/ph×pv}×ξ photon,
設CCD的規格為phxpv=512×512 pixel/1.536×1.536cm2=333×333pixel/cm2
則NA = {57.4~344.2}×ξ photon,

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 遠端的光源對CCD的照度IB:此時δB=90°
IB=(1/4f2)S×(sin(180-∠BB'B"-1/2(Δθ))/sin(∠BB'B")
∠BB'B"=sin-1(SB/SB')
SB=3297.57 ,
SB'={(SB)2+(BB')2-2(SB) (BB')cosδB}1/2={(3297)2+802}1/2=3298.57
∠BB'B"=sin-1(3297.58/3297.54)=88.61
IB=(1/4f2) ×S× (sin(88.49)/sin(88.61))= (1/4f2)×S×0.99995
≒(1/4f2)×S
=(1/4.22)×(100~600) = (6.25~37.5)KR
也就是每個frame中(ξms)傳到每個pixel的光子數為
NA = (6.25~37.5)×(106/333x333)×ξ= (56.2~337.0)×ξphoton

 

 

 

 

 

 

 

 

Ⅱ、 Case Study (B): 以UCB在12月23日所提的儀器,
已知 rE=6378km,hs=925km,hA=20km,hB=150km,Δθ=2.7°,Δψ=17.5°
則 θc= sin-1((rE+hB)/(rE+hS))-Δθ/2
=sin-1((6378+150)/(6378+925))-2.7/2=62.015,
δA=sin-1((6378+925)/(6378+20) sin(62.015-2.7/2))=95.685°,
δB= 90° ,
α\A=180-(62.015-2.7/2)-95.685=23.65° ,
α\B=90-(62.015+2.7/2) ,
ΔΨ=2tan-1(tan(17.5/2)/sin(62.015-2.7/2)
=20.025°/π=0.3495,
由以上的資料,可得以下的物理量。



 

 

 

 

 

  

1. 視野所涵蓋\的面積:

δ(θc)=(6378+20)2(0.3495)(cos(23.65°)-cos(26.635°))
=(6390)2(7.735×10-3)=316639.7km2
σ(θc)佔以(rE+hA)為半徑的球面面積比:
σ(θc)/4π((rE+hA)2=7.735×10-3/4×3.14=0.061%

 

 

 

 

 

2.

此時近端的spatial resolution為
19990421_eq26

19990421_eq27

 

 

 

 

 

 

3. 遠端的spatial resolution為
19990421_eq28(Note:DF=2×3273.97×tan8.75=1007.8km)

 

4.

近端光源對CCD照度 IA
19990421_eq29
h'A - hA= 158.87-20 =138.87km,
19990421_eq30

設f=2 ,S = 10~600KR,則
19990421_eq31

(與case A差不多;只差2﹪。)
也就是每個frame中(ξms)傳到每個pixel的光子數為
NA = (6.25~37.5)×(106/333×333)×ξ= (56.2~337.0)×ξphoton。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

5. 遠端光源對CCD照度IB
IB=(6.25~37.5)KR。(與case A同。)
也就是每個frame中(ξms)傳到每個pixel的光子數為
NA = (6.25~37.5)×(106/333×333)×ξ= (56.2~337.0)×ξphoton。

 

 

 

                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                                                                                                (回摘要)

七、每年可觀測到sprite的數量評估:

Ⅰ、 已知參數

 

(a) FORMOSAT-2每天繞地球14圈
(b) FORMASAT-2的軌道速率為7km/sec
(c) 每一個MCC(mesoscale convective complex)產生sprite的速率為1~4個/min
(d) 每一個MCC會持續10hrs
(e) 全球每年約有400個MCC

 

 

 

 

Ⅱ、 每天若存在一個MCC,則MCC進入ISUAL的FOV之機率為何?其分析步驟如下:

 

(a) 每個MCC會持續10hrs,在這10小時中,ISUAL的FOV將繞地球(10/24)×14=5.8圈
(b) 但是這5.8圈中,只有一半是夜晚,所以可觀測的圈數為2.9圈
(c) 其中約有1/5的時間是靠近日夜的交界處,因太陽餘輝的影響並不適合觀測。再扣去0.58圈,所以只有2.3圈。
(d)

每繞一圈FOV所掃過的面積為
=(6378+20)2△Ψ×2×(cos0-cosπ)
=4×(6378+20)2△Ψ
=4×(6378+20)2×0.6975 (case A)
=4×(6378+20)2×0.3495 (case B))
約佔以(rE+hA)為半徑的球面的
19990421_eq32

(e)

則每天若存在MCC,則此MCC在有效的時間內進入ISUAL的FOV的機率為:
22.2%×2.3=51.06%(case A)
11.1%×2.3=25.53%(case B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III、 每年可觀測到sprite的個數的分析

 

(a) 每年約有400個MCC,所以每天看到MCC的機率為400/365
(b) 每個MCC在FOV內的時間約為
19990421_eq33
(c) 又每個MCC產生sprite的機率為1~4個/min。
(d) 由2.(e),3.(a)-(c)可得每天看到sprite的個數為
(400/365)×3.9min×(1~4個/min)×51.06%=2.18~8.27個,
(400/365)×16min×(1~4個/min)×25.53%=4.48~17.91個。
(e) 每年可觀測到sprite的個數為
(2.18~8.75)×365=796~3183個 (case A),
(4.48~17.91)×365=1635~6540個 (case B)。

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

八、ISUAL中的影像儀所接收到Aurora及Airglow的照度分析:

1. 已知Aurora與Airglow的發光強度為SAurora=1~100KR。
SAirglow= 0.1~1 KR (for night airglow)
= 1~5 KR (for twilight airglow)
2. 由先前的分析,近端與遠端的source對於CCD所產生的照度是差不多等於I =(1/4f2)S
3. 對於Aurora及Airglow這兩種光源而言,經由與sprite的分析值之比較,可知每一個pixel在每一個frame(約ξms)所接收到的光子數為:
N(Aurora)=(0.56~56.2)×ξ(photon)。
N(night airglow)=(0.056~0.562)×ξ(photon)。
N(twilight airglow)=(0.56~2.81)×ξ(photon)。

                                                                                                                                                                                                                               

                                                                                          (回摘要) 

九、結論:

Ⅰ、對 case A 與 case B 的分析結果,如下表:

一、輸入的物理參數 Case A Case B
1. 軌道高度 891 km 925 km
2. Imager of ISUAL 的指向

與軌道運動的方向的夾角
90 degree 90 degree
3. 繞地球的週期 14周/天 14.1周/天
4. Field of view (horizontal) 34 degree 17.5 degree
5. Field of view (vertical) 5.8 degree 2.7 degree
6. Number of pixels in FOV 512 x 80 512 x 80
7. Focal length 25 mm 50 mm
8. Aperture size 12.5 mm 25 mm
9. CCD 的規格: 每一pixel 的大小 30 μ 30 μ
10. Image size (horizontal) 15.36 mm 15.36 mm
11. Image size (horizontal) 2.4 mm 2.4 mm
12.遠端與地球相切的高度 hB(at the limb) 100 km 150km



二、分析後所得的重要的物理量
1. Nadir angle of optical axias 60.12 degree 62.02 degree
2. 視野所涵蓋\的面積 2.06x105 km2 3.17x105 km2
3. 預計每年將可觀測到的sprites的數 796~3183 1635~6540
4. 近端視野的解析度(垂直方向) 2.60 km/pixe 1.74 km/pixel
5. 遠端視野的解析度(垂直方向) 3.94 km/pixe 1.97 km/pixel
6. CCD中的每個pixel在每一ms之內

所接受的光子數(來自SPRITE)
57.4~344.1 (近端)

56.2~337 (遠端)
56.2~337 (近端)

56.2~337 (遠端)
7. CCD中的每個pixel在每一ms之內

所接受的光子數(來自aurora)
0.56~56.2 0.56~56.2
8. CCD中的每個pixel在每一ms之內

所接受的光子數(來自night glow)
0.056~0.56 0.056~0.56
9. CCD中的每個pixel在每一ms之內

所接受的光子數(來自twilight glow)
0.56~2.81 0.56~2.81

 

Ⅱ、 從每年可觀測到sprite的個數為:796~3138個(case A),或1635~6540個(caseB),可知此一數據量對於sprite全球分佈的分析而言是可行的。

 

Ⅲ、 從CCD的sensitivity而言,若依照(LIREX)計畫中的要求:12photon/10ms(也就是在曝光時間10ms內至少要收集到12個photon才能記錄該數據),可知

 

(a) 對於sprite而言,以一個ms為一個frame,將可收集到(56.2~337)個photon,也就是可拍下各種強度的sprite(100~600KR),作動態分析。
(b) 對於Aurora而言,以16ms的一個frame,將可收集到(9.0~896)個photon,預計可拍下高度1.5KR以上的Aurora。
(c) 對於Night glow而言,以16ms的time resolution將可收集到(0.9~9.0)個photon。也就是CCD將無法拍下Nightglow。
(d) 對於twilight airglow而言,將可收集到(9.0~44.8)個photon。也就是可拍下1.5KR以上的twilightairglow。
(e) 可考慮以Intensified CCD 來測量Airglow,也增加sprite的觀測值之精確度。

 

 
  
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